Arboles: el
termino árbol se refiere a un elemento giratorio que transmite potencia, un eje
es un elemento estacionario sobre el que
hay montadas ruedas giratorias, poleas, etc. Un árbol de transmisión, llamado
también árbol principal, es el que recibe potencia de una maquina motriz y la
trasmite a maquinas conectadas por medio de correas o cadenas, usualmente desde
varios puntos en toda su longitud. Los arboles interpuestos entre el árbol
principal y una maquina impulsada reciben diversos nombres, tales como arboles
de contramarcha o secundarios. Por este motivo los ejes se calculan a flexión y
los arboles a flexo torsión.
Dimensionamiento
por resistencia:
Dado el
estudio de ejes o árboles, se debe empezar por el estudio “Estático” del
elemento cargado planteando las ecuaciones de equilibrio y obteniendo las reacciones en los apoyos.
Si un eje
tiene montadas sobre el varias ruedas dentadas o poleas, las diversas secciones
del eje estarán sometidas a momentos torsión diferentes a causa de que la
potencia total entregada al árbol se toma fraccionadamente en varios puntos.
De aquí que hay que tener en cuenta la magnitud
del par en cada parte del eje. Entonces se estudia la distribución del momento flector
para lo que se pueden trazar a mano alzada los diagramas de esfuerzos cortantes
y momentos flectores.
Mediante
este examen preliminar, que es un poco problema de mecánica, se puede apreciar
la sección en que el momento flector es máximo y la sección en que el momento
de torsión es máximo. Si estos máximos tienen lugar en la misma sección, se
determina el diámetro necesario para esta. Y se le utiliza para todo el árbol
cuando el diámetro haya de ser constante.
Si los
máximos no tienen lugar en la misma sección, se determina el diámetro
correspondiente a la sección de máximo momento de torsión y el correspondiente
a la sección de máximo momento flector y se utiliza el mayor valor.
Luego de
este estudio en el caso de la flexión se procede al cálculo del momento flector
en la sección mas desfavorable, teniendo en cuenta que la fuerza actuante sobre
el elemento es la suma de T1 ( tracción en el
ramal tirante) y T2 (tracción en el ramal flojo). Resultando que las
fuerzas flectoras será: Ffl= X. (T1 +
T2)
X= 2 para
correas planas
X= 1.5 para
correas en V
X= 1 para
engranajes.
Obteniendo
el momento flector, el cálculo por resistencia se reduce: σ = Mfl/ W
≤ σ adm
σ 1= Esfuerzo normal.
σ adm= tensión admisible el material.
W= módulo de
resistencia de la sección.
Mfl= momento
flector.
El módulo de
resistencia de la sección rectangular
W = I/C
Ix = momento
de inercia respecto al eje x-x
C= la
distancia a la fibra más alejada, medida desde el eje neutro de la sección.
El módulo de
resistencia de la sección circular W´=
Ip/c
Ip= momento
de inercia polar
C= distancia
de la fibra más alejada del centro del cirulo (d/2).
Los módulos
de resistencia se encuentran tabulados en tablas para distintas secciones.
Por otro
lado, para el caso de torsión, se calcula el momento torsor actuante por medio:
Mt = 71620 .
N/n (Kg. Cm)
N: potencia
en cv
N: r.p.m
Mt = Ft .
dp/2
Y luego se
procede el cálculo por resistencia: τ=
Mt max/ Wp ≤ τ adm
Cargas de flexión
en varios planos:
En el caso
de un elemento con varias cargas no coplanares, se descomponen estas en los
planos horizontales y verticales y se calcula por separado cada uno como un
caso simple. Obteniendo los momentos flexores en ambos planos se halla el
momento resultante:
Mf= (( Mfver )2 + (Mfhor)2)1/2
Por ultimo
como el momento resultante se determina el cálculo por resistencia o por
cualquier otro método.
Diseño
por rigidez torsional
La
desviación angular entre dos secciones o deformación es otra consideración
frecuentemente importante en el proyecto de árboles. Incluso los ejes cortos
presentan problemas especiales en cuanto a rigidez, cuando es aplicada la
carga en impulsos como ocurre a un
cigüeñal de automóvil.
Los impulsos
producen una vibración torsional, compensada ordinariamente por amortiguadores
torsionales en el motor del automóvil. La deformación torsional de un árbol
redondo viene dada por la ecuación: Ф= T.L /G.J radianes, Siendo g: el módulo
de elasticidad transversal en Kg/cm2, J: es el momento polar de
inercia de la sección en cm4 y L: es la distancia en cm desde la
sección en que es aplicado el momento de torsión T en Kg/cm a la sección en que
se encuentra el par torsional resistente.
Cuando se
fija una máxima deformación se estudia
al elemento por rigidez o deformación antes de que por resistencia.
Deformaciones
transversales
El
procedimiento matemático fundamental es establecer una ecuación para la carga
en una sección cualquiera y luego hacer integraciones sucesivas, hasta que se
obtenga la deformación o flecha.
Otra
procedimiento consiste en hacer uso del principio de superposición: es decir,
la deformación en una cierta sección de un eje causada por todas las cargas,
F1, F2, …, es igual a la suma vectorial en aquella sección de la deformaciones
producidas por cada una de las cargas actuando con independencia.
Arboles
sometidos a flexión y torsión
Si tenemos
un árbol sometido a tensiones combinadas, se utiliza una de las teorías de las
fallas.
Ecuaciones
de cálculo para las teorías de esfuerzo cortante máximo y de esfuerzo cortante
octaédrico:
Consideremos
un estado de esfuerzo biaxial inducido por un esfuerzo normal s y un esfuerzo
cortante Ss sobre el plano particular. La rotura elástica por la teoría del
esfuerzo cortante máximo es incipiente cuando el esfuerzo cortante resultante τ=Sy/2.
Un esfuerzo
de seguridad τ=Sy/2N
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